命題１９

　２つの相似な立体数の間に２つの比例中項があり、立体数は立体数に対して、対応する辺が対応する辺に対して持つ比の３乗の比をもつ。

　AとBを２つの相似な立体数とし、C、D、EをAの辺とし、F、G、HをBの辺とせよ。

　今、相似な立体数は、それらの辺が比例するので、それゆえに、CはDに対して、FはGに対し、また、DはEに対して、GはHに対する。definition�Z２１

　AとBの間に２つの比例中項があり、AはBに対して、CはFに対し、DはGに対し、EはHに対して持つ比の３乗の比をもつと主張する。

　CにDをかけてKを作り、FにGをかけてLを作るとせよ。

　今、CとDはFとGと同じ比で、KはCとDの積で、LはFとGの積で、KとLは相似な平面数なので、それゆえに、KとLの間に１つの比例中項数Mがある。definition�Z２１、proposition�[１８

　それゆえに、MはDとFの積で、前の定理の中で証明されていた。proposition�[１８

　今、DはCをかけられてKを作り、FをかけられてMを作るので、それゆえに、CはFに対して、KはMに対する。

　しかし、KはMに対して、MはLに対する。

　それゆえに、K、M、Lは、CがFに対する比で連続して比例する。proposition�Z１７

　そして、CはDに対して、FはGに対するので、いれかえて、それゆえに、CはFに対し、DはGに対する。proposition�Z１３

　同じ理由で、DはGに対して、EはHに対する。

　いれかえて、K、M、Lは、CがFに対する比、DがGに対する比、また、EはHに対する比で連続して比例する。

　次に、EとHにMをかけて、それぞれNとOを作るとせよ。

　今、Aは立体数で、CDEはその辺なので、それゆえに、EはCとDの積をかけられてAを作る。

　しかし、CとDの積はKである。

　それゆえに、EはKをかけられてAを作る。

　同じ理由で、HはLをかけられてBを作る。

　今、EはKをかけられてAを作り、加えてMをかけられてNを作るので、それゆえに、KはMに対して、AはNに対する。proposition�Z１７

　しかし、KはMに対して、CはFに対し、DはGに対し、EはHに対する。

　それゆえに、EはHに対して、AはNに対する。

　再び、EとHにMをかけられて、それぞれNとOを作るので、それゆえに、EはHに対して、NはOに対する。proposition�Z１８

　しかし、EはHに対して、CはFに対し、DはGに対する。

　それゆえに、CはFに対して、DはGに対し、EはHに対し、AはNに対し、NはOに対する。

　再び、HはMをかけられてOを作り、加えてLをかけられてBを作るので、それゆえに、MはLに対して、OはBに対する。proposition�Z１７

　しかし、MはLに対してCはFに対し、DはGに対し、EはHに対する。

　それゆえに、CはFに対して、DはGに対し、EはHに対し、OはBに対し、AはNに対し、NはOに対する。

　それゆえに、A、N、O、Bは辺の比で連続して比例する。

　AはBに対して、対応する辺が対応する辺に対して、つまり、CはFに対し、または、DはGに対し、EはHに対してもつ比の３乗の比をもつと主張する。

　今、A、N、O、Bは４つの連続して比例する数なので、それゆえに、AはBに対して、AがNに対してもつ比の３乗の比をもつ。definition�X１０

　しかし、AはNに対して、CはFに対し、DはGに対し、EはHに対することは証明されていた。

　それゆえに、AはBに対して、対応する辺は対応する辺に対して、つまり、CはFに対し、DはGに対し、EはHに対してもつ比の３乗の比をもつ。

　それゆえに、２つの相似な立体数の間に２つの比例中項があり、立体数は立体数に対して、対応する辺が対応する辺に対して持つ比の３乗の比をもつ。

証明終了

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